Un experimento permite distinguir entre dos interpretaciones distintas del principio de incertidumbre de Heisenberg.

Una de los principios más misteriosos e interesantes de la Mecánica Cuántica es el principio de incertidumbre (o indeterminación) de Heisenberg. Nos dice que hay límites a lo que podemos conocer sobre los sistemas cuánticos.
Así por ejemplo, si nos fijamos en la versión que relaciona la cantidad de movimiento (o momento) de una partícula y su posición nos dice que cuanto mejor conozcamos la posición de una partícula peor conoceremos su cantidad de movimiento (el producto de su masa y velocidad o momento) y viceversa. Estas dos cantidades conjugadas (posición y momento) no son las únicas, así por ejemplo, el tiempo y la energía también tienen su propia relación de incertidumbre. Se pueden buscar otras cantidades conjugadas que sufran de lo mismo.

Se considera a Heisenberg el padre de la Mecánica Cuántica (MC). Cuando introdujo su famoso principio en 1927 imaginó en un experimento mental a un electrón que es observado con un microscopio basado en fotones de rayos gamma. De este modo cuando se quisiera medir la posición del mismo con un error ε(q) se podía alterar su momento en una cantidad η(p) que estarían regulados por la relación ε(q)η(p) ≥ h/4 π (siendo h la constante de Plank). Digamos que la medida altera el estado del sistema de tal modo que no podemos saber ciertas cantidades simultáneamente mejor de lo que nos dice esa relación. Esta relación tendría en cuanta el error en la medición.
Ese mismo año, Earle Kennard, propuso otra relación de incertidumbre muy similar en la forma, pero conceptualmente distinta. En esta formulación el principio de incertidumbre dice que σ(q)σ(p) ≥ h/4π. En este caso viene a decir que las fluctuaciones cuánticas de la posición y del momento no se pueden suprimir simultáneamente por debajo de cierto límite. Si reducimos las fluctuaciones en uno las aumentamos en el otro. Esto expresaría un concepto más estadístico y universal en el que se tendría en cuanta la dispersión (a través de la desviación típica).
Aunque desde entonces algunos han creído que ambas formulaciones son básicamente la misma y que ambas describen el mismo fenómeno, en realidad no es así. Como se puede observar, la ecuación es prácticamente la misma, pero conceptualmente son muy distintas. En el primer caso parece tratarse de una torpeza nuestra a la hora de medir y en la segunda a algo intrínseco al sistema. Los físicos usan la formulación de Kennard en la actualidad.
Este tipo de situaciones en las que hay varias interpretaciones son habituales en MC y no suelen solucionarse debido a que es muy difícil diseñar un experimento que las distinga. Pues bien, unos físicos de las universidades de Viena y Tokio dirigidos por Yuji Hasegawa han realizado un experimento con neutrones que permite distinguir entre estos dos casos. En lugar de medir la relación posición-momento han medido dos componentes ortogonales del estado de polarización del spin de los neutrones de un haz (algo equivalente bajo del principio de incertidumbre que mide otras dos cantidades conjugadas). La conclusión es que la interpretación de Heisenberg es incorrecta y que la correcta es la de Kennard, que es la que se viene usando en la Física moderna desde hace mucho tiempo.

En el experimento se preparó un haz de neutrones en el que se midió dos componentes spin simultáneamente en clara violación del principio de incertidumbre según la interpretación original. La otra interpretación se mantuvo. El resultado, de haber sido el contrario, hubiera sacudido los cimientos de la Mecánica Cuántica moderna.
Este resultado se ha conseguido gracias a que en 2003 Masanao Ozawa (Universidad de Nagoya) llegó a una expresión del principio que permitía describir tanto el error como las fluctuaciones: ε(q) η(p) + σ(q)η(p) + σ(p)ε(q) ≥ h/4π.
En el experimento se pudo precisamente distinguir entre errores en la medida y fluctuaciones. Algo sorprendente cuando muchos físicos habían pensado que la única manera de reducir los errores es suprimiendo las fluctuaciones. Pero la desigualdad de Ozawa sugiere que hay otra manera de reducir errores al permitir al sistema tener grandes fluctuaciones, aunque suene contradictorio.
Pero en el mundo real el error en la medida siempre está ahí, sumándose a las fluctuaciones, así que desde el punto de vista experimental y práctico la formulación de Ozawa resulta útil al tener en cuenta tanto fluctuaciones como errores en la medida y su alteración provocada por el acto de medida.
Cuando se divulga la MC se suele expresar la idea ingenua de que la relación de incertidumbre surge porque la medida experimental de una cantidad X da al traste con la medida de la cantidad complementaria Y. Este experimento ayudar a eliminar esa idea.
No es que seamos torpes a la hora de medir cantidades conjugadas, es que por muy bien que lo hagamos es imposible medirlas con precisión debido a sus fluctuaciones inherentes. Sí, la MC es tan rara como siempre se ha creído, incluso más de lo que cree la gente común.

Fuente http://neofronteras.com/?p=3765

Fuentes y referencias:
Noticia en Physicsworld.
Noticia en Scientific American.
Artículo original.

En mecánica cuántica, la relación de indeterminación de Heisenberg o principio de incertidumbre establece la imposibilidad de que determinados pares de magnitudes físicas sean conocidas con precisión arbitraria. Sucintamente, afirma que no se puede determinar, en términos de la física clásica, simultáneamente y con precisión arbitraria, ciertos pares de variables físicas, como son, por ejemplo, la posición y el momento lineal (cantidad de movimiento) de un objeto dado. En otras palabras, cuanta mayor certeza se busca en determinar la posición de una partícula, menos se conoce su cantidad de movimiento lineal y, por tanto, su velocidad. Esto implica que las partículas, en su movimiento, no tienen asociada una trayectoria definida como lo tienen en la física newtoniana. Este principio fue enunciado por Werner Heisenberg en 1927.

Gráfico del Principio de Indeterminación de Heisenberg

El principio de indeterminación no tiene un análogo clásico y define una de las diferencias fundamentales entre física clásica y física cuántica. Desde un punto de vista lógico es una consecuencia de axiomas corrientes de la mecánica cuántica y por tanto estrictamente se deduce de los mismos.

La explicación “divulgativa” tradicional del principio de incertidumbre afirma que las variables dinámicas como posición, momento angular, momento lineal, etc. se definen de manera operacional, esto es, en términos relativos al procedimiento experimental por medio del cual son medidas: la posición se definirá con respecto a un sistema de referencia determinado, definiendo el instrumento de medida empleado y el modo en que tal instrumento se usa (por ejemplo, midiendo con una regla la distancia que hay de tal punto a la referencia).

Sin embargo, cuando se examinan los procedimientos experimentales por medio de los cuales podrían medirse tales variables en microfísica, resulta que la medida siempre acabará perturbando el propio sistema de medición. En efecto, si por ejemplo pensamos en lo que sería la medida de la posición y velocidad de un electrón, para realizar la medida (para poder “ver” de algún modo el electrón) es necesario que un fotón de luz choque con el electrón, con lo cual está modificando su posición y velocidad; es decir, por el mismo hecho de realizar la medida, el experimentador modifica los datos de algún modo, introduciendo un error que es imposible de reducir a cero, por muy perfectos que sean nuestros instrumentos.

Esta descripción cualitativa del principio, sin ser totalmente incorrecta, es engañosa en tanto que omite el principal aspecto del principio de incertidumbre: el principio de incertidumbre establece un límite más allá del cuál los conceptos de la física clásica no se pueden emplear. La física clásica concibe sistemas físicos descritos por medio de variables perfectamente definidas en el tiempo (velocidad, posición,…) y que en principio pueden conocerse con la precisión que se desee. Aunque en la práctica resultara imposible determinar la posición de una partícula con un precisión infinitesimal, la física clásica concibe tal precisión como alcanzable: es posible y perfectamente concebible afirmar que tal o cual partícula, en el instante de tiempo exacto 2 s, estaba en la posición exacta 1,57 m. En cambio, el principio de incertidumbre, al afirmar que existe un límite fundamental a la precisión de la medida, en realidad está indicando que si un sistema físico real se describe en términos de la física clásica, entonces se está haciendo una aproximación, y la relación de incertidumbre nos indica la calidad de esa aproximación.

Por motivos culturales y educativos, las personas se suelen enfrentar al principio de incertidumbre por primera vez estando condicionadas por el determinismo de la física clásica. En ella, la posición x de una partícula puede ser definida como una función continua en el tiempo, x=x(t). Si la masa de esa partícula es m y se mueve a velocidades suficientemente inferiores a la de la luz, entonces el momento lineal de la partícula se define como masa por velocidad, siendo la velocidad la primera derivada en el tiempo de la posición: p=m dx/dt.

Dicho esto, atendiendo a la explicación habitual del principio de incertidumbre, podría resultar tentador creer que la relación de incertidumbre simplemente establece una limitación sobre nuestra capacidad de medida que nos impide conocer con precisión arbitraria la posición inicial x(0) y el momento lineal inicial p(0). Ocurre que si pudiéramos conocer x(0) y p(0), entonces la física clásica nos ofrecería la posición y la velocidad de la partícula en cualquier otro instante; la solución general de las ecuaciones de movimiento dependerá invariablemente de x(0) y p(0). Esto es, resolver las ecuaciones del movimiento lleva a una familia o conjunto de trayectorias dependientes de x(0) y p(0); según qué valor tomen x(0) y p(0), se tendrá una trayectoria dentro de esa familia u otra, pero la propia resolución de las ecuaciones limita el número de trayectorias a un conjunto determinado de ellas. Según se ha razonado, de acuerdo con el principio de incertidumbre x(0) y p(0) no se pueden conocer exactamente, así que tampoco podrán conocerse x(t) y p(t) en cualquier otro instante con una precisión arbitraria, y la trayectoria que seguirá la partícula no podrá conocerse de manera absolutamente exacta. Este razonamiento es, sin embargo, incorrecto, pues en él subyace la idea de que, pese a que x(0) y p(0) no se pueden conocer exactamente, es posible continuar usando la descripción clásica en virtud de la cual una partícula seguirá una trayectoria definida por la solución general de las ecuaciones de movimiento, introduciendo la noción añadida de que las condiciones iniciales x(0) y p(0) no pueden conocerse al detalle: esto es, no podemos conocer exactamente qué trayectoria va a seguir la partícula, pero estaremos aceptando que, de facto, va a seguir una.

Esta forma de proceder es, sin embargo, totalmente incorrecta: el principio de incertidumbre conlleva un desvío completo de las concepciones clásicas, haciendo que la noción clásica de trayectoria debe ser desechada: preguntar cuáles son simultáneamente los valores de x(t) y p(t) es un absurdo. Así dicho, podría resultar paradójico que primero se establezca una relación de incertidumbre en términos de posición x y momento lineal p, para luego afirmar que x y p, que aparecen en dicha relación, no tienen sentido: si no tienen sentido, ¿qué sentido puede tener una relación que las emplee? Ocurre que, en física cuántica, es posible introducir una serie de entidades matemáticas x y p que se correspondan en muchos aspectos con la posición y el momento clásicos. Dichas entidades no son, no obstante, exactamente iguales a la posición y el momento clásicos: el principio de incertidumbre sencillamente indica que si interpretamos esas entidades como posición y momento lineal -y por tanto interpretamos el movimiento de una forma clásica-, entonces existe un límite fundamental en la precisión con que dichas variables pueden ser conocidas; esto es, si intentamos introducir variables clásicas e intentamos interpretar el movimiento de forma clásica, la precisión con que estas variables pueden ser especificadas está limitada.

Consecuencias de la relación de indeterminación

Este principio supone un cambio básico en la naturaleza de la física, ya que se pasa de un conocimiento absolutamente preciso en teoría (aunque no en el conocimiento basado sólo en probabilidades). Aunque debido a la pequeñez de la constante de Planck, en el mundo macroscópico la indeterminación cuántica es casi siempre completamente despreciable, y los resultados de las teorías físicas deterministas, como la teoría de la relatividad de Einstein, siguen teniendo validez en todos casos prácticos de interés.

Las partículas, en mecánica cuántica, no siguen trayectorias definidas. No es posible conocer exactamente el valor de todas las magnitudes físicas que describen el estado de movimiento de la partícula en ningún momento, sino sólo una distribución estadística. Por lo tanto no es posible asignar una trayectoria a una partícula. Sí se puede decir que hay una determinada probabilidad de que la partícula se encuentre en una determinada región del espacio en un momento determinado.

Comúnmente se considera que el carácter probabilístico de la mecánica cuántica invalida el determinismo científico. Sin embargo, existen varias Interpretaciones de la Mecánica cuántica y no todas llegan a esta conclusión. Según puntualiza Stephen Hawking, la mecánica cuántica es determinista en sí misma, y es posible que la aparente indeterminación se deba a que realmente no existen posiciones y velocidades de partículas, sino sólo ondas. Los físicos cuánticos intentarían entonces ajustar las ondas a nuestras ideas preconcebidas de posiciones y velocidades. La inadecuación de estos conceptos sería la causa de la aparente impredecibilidad. Otros fenómenos que deducibiles o conectados con el principio de indeterminación de Heisenberg son:

Efecto túnel
Energía del punto cero
Existencia de partículas virtuales
Energía del vacío e inexistencia del vacío absoluto.
Radiación de Hawking e inestabilidad de agujeros negros

 

Si se preparan varias copias idénticas de un sistema en un estado determinado, como puede ser un átomo, las medidas de la posición y de la cantidad de movimiento variarán de acuerdo con una cierta distribución de probabilidad característica del estado cuántico del sistema. Las medidas del objeto observable sufrirán desviación estándar ?x de la posición y el momento ?p. Verifican entonces el principio de indeterminación que se expresa matemáticamente como:

\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}

donde la h es la constante de Planck (para simplificar, \frac{h}{2\pi} suele escribirse como \hbar )

El valor conocido de la constante de Planck es:

h =\,\, 6,626\ 0693 (11) \times10^{-34}\ \mbox{J}\cdot\mbox{s} \,\, = \,\,  4,135\ 667\ 43(35) \times10^{-15}\ \mbox{eV}\cdot\mbox{s}

En la física de sistemas clásicos esta indeterminación de la posición-momento no se manifiesta puesto que se aplica a estados cuánticos del átomo y h es extremadamente pequeño. Una de las formas alternativas del principio de indeterminación más conocida es la indeterminación tiempo-energía que puede escribirse como:

\Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2}

Esta forma es la que se utiliza en mecánica cuántica para explorar las consecuencias de la formación de partículas virtuales, utilizadas para estudiar los estados intermedios de una interacción. Esta forma del principio de indeterminación es también la utilizada para estudiar el concepto de energía del vacío.

Expresión general de la relación de indeterminación

Además de las dos formas anteriores existen otras desigualdades como la que afecta a las componentes Ji del momento angular total de un sistema:

 \Delta J_i \Delta J_j \geq \frac{\hbar}{2}<br />
\left|\left\langle J_k\right\rangle\right|

Donde i, j, k son distintos y Ji denota la componente del momento angular a lo largo del eje xi.

Más generalmente si en un sistema cuántico existen dos magnitudes físicas a y b representadas por los operadores u observables denotados como \hat{A}, \hat{B}, en general no será posible preparar una colección de sistemas todos ellos en el estado \Psi\;, donde las desviaciones estándar de las medidas de a y b no satisfagan la condición:

 \Delta_\Psi\hat{A} \cdot \Delta_\Psi\hat{B}<br />
\ge \frac{1}{2}\left| \langle \Psi | [\hat{A},\hat{B}]\Psi \rangle \right|

Demostración

La expresión general de la relación de indeterminación se deduce de los postulados I y III de la mecánica cuántica. La demostración más particular de que existen magnitudes que no pueden conocerse con precisión arbitraria usa también y de manera crítica el postulado VI.

Para probar el principio de indeterminación de Heisenberg supongamos dos observables \scriptstyle A y \scriptstyle B cualesquiera y supongamos un estado \scriptstyle |\psi\rangle tal que \scriptstyle \{|\psi\rangle, A|\psi\rangle, B|\psi\rangle\}\ \subset\ D(A)\cap D(B). En esa situación puede demostrarse que:

(1) \Delta_\psi A \cdot \Delta_\psi B \ge<br />
\frac{1}{2} | \langle \psi| [A,B] \psi \rangle |

Donde:

\Delta_\psi A = \sqrt{\langle A^2 \rangle_\psi - \langle A \rangle_\psi^2} , la “incertidumbre” medida como desviación estándar del valor de una medida sobre el estado |\psi\rangle.
[A,B] = AB - BA\,, el conmutador de ambos observables.

Definiendo a partir de \scriptstyle A y \scriptstyle B, los operadores autoadjuntos:

\bar{A}= A - \langle A \rangle_\psi, \qquad \bar{B}= B - \langle B \rangle_\psi

Se puede construir la función real:

y(\lambda) = \langle \psi| (\bar{A}-i\lambda \bar{B})(\bar{A}+i\lambda \bar{B})<br />
|\psi \rangle = \|(\bar{A}+i\lambda \bar{B})\psi \|^2 \ge 0

Y desarrollando el producto escalar anterior:

(2) y(\lambda) = \langle \psi| \bar{B}^2\psi \rangle \lambda^2 +<br />
\langle \psi |i[\bar{A},\bar{B}]\psi \rangle \lambda + \langle \psi| \bar{A}^2\psi \rangle

Teniendo en cuenta que:

  1. [\bar{A},\bar{B}] = [A,B]
  2. \Delta_\psi A^2 = (\langle \psi |A^2 \psi \rangle - \langle \psi| A \psi \rangle^2) = (\langle A^2 \rangle_\psi - \langle A \rangle_\psi^2)
  3. \Delta_\psi B^2 = (\langle \psi |B^2 \psi \rangle - \langle \psi| B \psi \rangle^2) = (\langle B^2 \rangle_\psi - \langle B \rangle_\psi^2)

La ecuación (2) puede ser reescrita como:

(3) y(\lambda) = (\Delta_\psi B)^2 \lambda^2 +<br />
\langle \psi |i[\bar{A},\bar{B}]\psi \rangle \lambda + (\Delta_\psi A)^2

Como \scriptstyle i[A,B] es un operador hermítico los coeficientes de la función polinómica anterior son reales, y como la expresión anterior es real para todo valor de \scriptstyle \lambda necesariamente el discriminante del polinomio asociado debe ser negativo:

(4) \langle \psi |i[{A},{B}]| \psi \rangle^2<br />
- 4(\Delta_\psi A)^2 (\Delta_\psi B)^2 \le 0

Reordenando y obteniendo raíces cuadradas en la ecuación anterior se obtiene precisamente la ecuación (1). Si se particulariza la ecuación (1) tomando \scriptstyle A = P,\ B = X:

 (\Delta_\psi X) (\Delta_\psi P) \ge<br />
\frac{1}{2} |\langle\psi \left|[X,P]\right|\psi\rangle | =<br />
\frac{1}{2} |\langle\psi \left| i\hbar\ \right| \psi\rangle| = {\hbar \over 2}

Estimación de la energía de niveles fundamentales

Mediante el principio de incertidumbre es posible estimar la energía del punto cero de algunos sistemas. Para ello supondremos que en tales sistemas el punto cero cumple que la partícula estaría clasicamente en reposo (a nivel cuántico significa que el valor esperado del momento es nulo). Este método del cálculo de energías tan solo da una idea del orden de magnitud del estado fundamental, nunca siendo un método de cálculo del valor exacto (en algún sistema puede resultar que el valor obtenido sea el exacto pero ello no deja de ser más que una simple casualidad). La interpretación física del método es que debido al principio de incertidumbre, la localización de la partícula tiene un coste energético (el término de la energía cinética), de modo que cuanto más cerca del centro de fuerzas esté la partícula más energía tendrá el sistema debido a las fluctuaciones cuánticas, de modo que en el nivel fundamental el sistema minimizará su energía total.

Partícula en un potencial culombiano

A continuación se estimará la energía fundamental de un átomo monoelectrónico. Por el principio de indeterminación se tiene que:

<br />
\Delta r \cdot\Delta p\geq\frac{\hbar}{2}<br />

Empleando como estimación que para el nivel fundamental se cumple:

<br />
\Delta r \cdot\Delta p\approx \hbar\qquad\Rightarrow\qquad\Delta p\approx\frac{\hbar}{\Delta r}<br />

La energía total es la suma de cinética más potencial. Dado que el valor medio del momento radial es nulo, su valor cuadrático esperado será igual a su desviación y se aproximará el valor esperado del inverso del radio al inverso de su desviación.

<br />
\langle E\rangle=\langle T\rangle+\langle V\rangle=\langle\frac{p^2}{2m_e}\rangle-\langle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{r}\rangle\approx\frac{\hbar^2}{2m_e(\Delta r)^2}-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{\Delta r}<br />

En el nivel fundamental la energía ha de ser mínima de modo que:

<br />
\frac{dE}{d\Delta r}=0\qquad\Rightarrow\qquad\Delta r=\frac{\hbar^24\pi\epsilon_0}{m_eZe^2}=a_0<br />

El valor obtenido es casualmente idéntico al radio de Bohr y sustituyendo en la estimación obtenida para la energía se obtiene:

<br />
E=-\frac{(Ze^2)^2m_e}{2\hbar^2(4\pi\epsilon_0)^2}=E_0<br />

Casualmente este es exactamente la energía del estado fundamental de un átomo hidrogenoide. El objetivo del método es la estimación del valor, si bien en este ejemplo particular obtenido es idéntico al calculado formalmente.

Oscilador armónico unidimensional

Empleando como estimación:

<br />
\Delta x \cdot\Delta p\approx \hbar\qquad\Rightarrow\qquad\Delta p\approx\frac{\hbar}{\Delta x}<br />

Tomando que el valor medio de la posición y momento son nulos debido a la simetría del problema se tiene que la energía total es:

<br />
\langle E\rangle=\langle T\rangle+\langle V\rangle\approx\frac{\hbar^2}{2m(\Delta x)^2}+\frac{1}{2}m\omega^2(\Delta x)^2<br />

Minimizando la energía:

<br />
\frac{dE}{d\Delta x}=0\qquad\Rightarrow\qquad(\Delta x)^2=\frac{\hbar}{m\omega}<br />

Sustituyendo el valor en la energía se obtiene:

<br />
E=\hbar\omega=2E_0<br />

Como se puede observar el valor obtenido es el doble del punto cero del oscilador armónico, de modo que aunque el valor obtenido no sea exacto el orden de magnitud sí es el correcto.

Partícula en un pozo

Sea una partícula que se encuentra confinada en un pozo infinito de anchura 2a. Dado que las únicas posiciones posibles de la partícula se encuentran dentro del pozo se puede estimar que:

<br />
\Delta x\cdot\Delta p\approx\hbar\qquad<br />
\Delta x\approx a\qquad\Rightarrow\qquad\Delta p\approx\frac{\hbar}{a}<br />

La energía cinética será por tanto:

<br />
\langle E\rangle=\frac{\langle p^2\rangle}{2m}\approx\frac{\hbar^2}{2ma^2}=\frac{4}{\pi^2}E_1<br />

Como se observa el resultado obtenido difiere en un factor algo superior a 2 del valor real, pero de nuevo el orden de magnitud es el correcto. Este cálculo da una idea de las energías que hay que aportar para confinar una cierta párticula en una región, tal como puede ser un nucleón en el núcleo.

Bibliografia neofronteras.com y www.wikipedia.org

Actualmente a pesar del progreso cientìfico, la Teorìa Cuàntica NO tiene una explicaciòn concreta…

El experimento de “El Gato de Schròdinger”no fuè llevado a cabo, es propuesto por el cientìfico austrìaco Erwin ScHròdinger en 1935 para ejemplificar complejos supuestos teòricos en el campo de la Fìsica Cuàntica que fueron inicialmente desarrollados por otro famoso cientìfico Werner Heisenberg en el “PRINCIPIO de INCERTIDUMBRE” màs popularmente difundido entre el pùblico no especializado.

Por màs que la ciencia avance, es IMPOSIBLE que el hombre explique, defina,elabore fòrmula alguna acerca de la TEÒRIA CUÀNTICA ya que el principio de funcionamiento de la materia es ALEATORIO y depende de fuerzas y principios que el hombre en su condiciòn humana NO PUEDE racionalizar ni COMPRENDER.
En la actualidad èste tema sigue siendo fuente de controversias fundamentales ya que del campo de la fìsica se traspola al campo de la filosofìa…

El presente trabajo pertenece al gènero de DIVULGACIÒN CIENTÌFICA y contò en sus inicios con el asesoramiento por mail del Dr Bienvenido Leòn (España) y obtuvo un 10 diez como tesis de Licenciatura de la UNC Argentina.
La investigaciòn fuè supervisada por el instituto Fìsica UNC.

Fisica Cuántica